首先阐述一下手工绘制正切函数（y = tan(x)）图像的方法：
1. **定义域与周期性**：由于正切函数在整个实轴上不是连续的，在每个π/2+kπ(k为整数)处会出现无穷大或无穷小的情况，因此我们需要先确定一个主值区间[-π/2, π/2]来初步刻画它的图象特征，并注意到它以π为周期重复出现。
2. **特殊点标记**：找出x=0时对应的y值以及所有使tan x无意义的奇数倍π/2位置并做标识，这些地方是垂直渐近线的位置。
3. **草绘过程**：依据单位圆中的几何关系或者直接使用反正切表计算出一系列对应坐标后描点连线，注意随着角度从-π/2到π/2的变化趋势——由负无限增大至正无限再回到负无限的过程。
接下来讲解如何借助MATLAB程序辅助完成正切函数曲线的绘制：
matlab
% 定义X取值范围
x = linspace(-pi, pi, 400); % 这里生成了包含800个均匀分布于-pi 到 pi 区间内的数值
% 计算Y值即相应的tangent值
y = tan(x);
% 开始作图部分
figure;
hold on;
plot(x,y,'r'); % 使用红色线条画出正切函数图像
% 标注特殊点及其相应直线
vlines([-pi/2*pi/2], -inf, inf, 'k:', 'LineWidth', 1);
hline(0, '-.', 'Color', [0.5 0.5 0.5]);
xticks([-.pi:.pi]); % 设置刻度标签为弧度表示
yticklabels({'-' , '', '' ,'+'}); % 只保留符号标注
xlabel('x (Radians)');
ylabel('\theta');
title('Graph of the Tangent Function');
grid on;
上述代码会创建一幅完整的正切函数图像，其中包含了主要特性，例如在±π/2处的垂直渐进线等关键元素。通过调整`linspace()`函数参数可以控制横坐标的精度进而细化图像细节，以便观察正切函数更为细致复杂的局部形态。
总结来说，无论是传统的手动画法还是采用计算机工具进行可视化展示，均能够帮助我们深入剖析正切函数的本质属性，揭示其内在结构特点，从而提升我们在实际问题解决过程中运用此类重要函数的能力。同时，这也体现了理论分析与实践操作相结合的学习理念的重要性。
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